यदि f(x) अंतराल (0, infty) में एक अवकलनीय फलन | vedclass

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Question

(D) दिया गया सीमा: $\mathop {\lim }\limits_{t 	o x} \frac{{{t^2}f(x) - {x^2}f(t)}}{{t - x}} = 1$. $t$ के सापेक्ष $L$'Hopital नियम लागू करने पर: $\mat

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$\frac{31}{18}$

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(D) दिया गया सीमा: $\mathop {\lim }\limits_{t 	o x} \frac{{{t^2}f(x) - {x^2}f(t)}}{{t - x}} = 1$. $t$ के सापेक्ष $L$'Hopital नियम लागू करने पर: $\mathop {\lim }\limits_{t 	o x} \frac{2t f(x) - x^2 f'(t)}{1} = 1$. $t = x$ रखने पर,हमें अवकल समीकरण प्राप्त होता है: $2x f(x) - x^2 f'(x) = 1$. पुनर्व्यवस्थित करने पर: $f'(x) - \frac{2}{x} f(x) = -\frac{1}{x^2}$. यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ प्रकार का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{2}{x}$ और $Q(x) = -\frac{1}{x^2}$ है। समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln x} = \frac{1}{x^2}$. $I.F.$ से गुणा करने पर: $\frac{d}{dx} [f(x) \cdot \frac{1}{x^2}] = -\frac{1}{x^4}$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\frac{f(x)}{x^2} = \int -x^{-4} dx = \frac{1}{3x^3} + C$. अतः,$f(x) = \frac{1}{3x} + Cx^2$. $f(1) = 1$ का उपयोग करने पर: $1 = \frac{1}{3} + C \implies C = \frac{2}{3}$. इस प्रकार,$f(x) = \frac{1}{3x} + \frac{2x^2}{3}$. $x = \frac{3}{2}$ के लिए: $f(\frac{3}{2}) = \frac{1}{3(3/2)} + \frac{2(3/2)^2}{3} = \frac{2}{9} + \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{2}{9} + \frac{3}{2} = \frac{4 + 27}{18} = \frac{31}{18}$.

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